ФИНАНСОВЫE ВЫЧИСЛEНИЯ ТEОРИЯ И ПРАКТИКА УЧEБНО-СПРАВОЧНОE ПОСОБИE 11

     млн руб.     Новый срок консолидированного платежа:    года, или 1 год 165 дней.     Новый срок платежа переносится на 1 год и 165 дней с момента получения кредита.     Сроки уплаты консолидированных платежей при использовании сложных процентных ставок определяются по формуле:         (3.50)     где — сумма дисконтированных на начальную дату платежей;     S — сумма консолидированных платежей.     Пример 3.23. Два платежа S = 1,4 млн руб. и S = 1,9 млн руб. сосроками погашения n = 2 года, n = 3 года объединяются в один S= 4,0 млн руб. с использованием сложной процентной ставки — 6,0%. Определить срок уплаты консолидированного платежа.    P0 = 1,4 1,06-2 + 1,9 1,06-3 = 1,246 + 1,595 = 2,841 млн руб.;      года.     Если бы кредитор согласился на консолидацию платежей при условии, что S + S = S, т.е. сумма объединенных платежей будет равна консолидированному платежу, то срок погашения этого платежа был бы значительно меньше:    S = 1,4 + 1,9 = 3,3 млн руб.;      года.        3.4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ УСЛОВИЙ КОММЕРЧЕСКИХ СДЕЛОК     При изменении условий коммерческих сделок далеко не всегда можно найти решение путем суммирования наращенных сумм и дисконтированных платежей. Зачастую для решения этой задачи готовые формулы отсутствуют.     Расчет исходной величины S, отражающей результат изменения условий сделки, можно выполнить, используя принцип эквивалентности и его математическое выражение — уравнение эквивалентности. Его экономический смысл был рассмотрен нами в предыдущем разделе. За момент приведения платежей могут быть при этом приняты различные даты: начальная дата, т.е. дата предоставления кредита; дата, находящаяся в середине срока погашения кредита, и т.д. Поэтому конкретный вид уравнения зависит от условий контрактов. Рассмотрим порядок составления этих уравнений на ряде примеров.     Пример 3.24. Имеются два кредитных обязательства — 500 тыс. руб. и 600 тыс. руб. со сроками уплаты 01.10 и 01.01 (нового года). По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 тыс. руб. должник вносит 01.02, остальной долг он выплачивает 01.04. При расчетах используется простая процентная ставка — 10% годовых. Необходимо определить величину второго платежа — S.     За базовую дату, т.е. за дату приведения, примем 01.01 (нового года).     01.10 — 274-й порядковый день в году;     01.02 — 32-й день;     01.04 — 91-й день.     Запишем уравнение эквивалентности:           или         Решив это уравнение относительно S, находим:     S = 429,0 тыс. руб.     Таким образом, общая сумма погасительных платежей равна:    700 + 429,0 = 1129,0 тыс. руб.     За базу можно принять и другую дату, например 01.04. Тогда уравнение примет вид:                   Откуда     S = 428,54 тыс. руб.     Отличие результатов, полученных при расчете S на различные даты, неизбежно и обусловлено соотношением:    (1 + n i) (1 + n i) (1 + n i),       где n = n + n.     Пример 3.25. За полученные 01.02 в кредит товары фирма должна заплатить через 120 дней 1,5 млн руб. и через 240 дней еще 1,2 млн руб. Достигнуто соглашение с кредитором об изменении условий контракта. Платежи производятся равными суммами: первый платеж — через 90 дней, второй — через 180 дней; при расчете применяются простые проценты — i = 10%. Определить величину каждого платежа.     Составим уравнение эквивалентности, в котором за базовую дату возьмем 90-й день (K = 360):             Решив это уравнение, получим:     S = 1,3361 млн руб.     Пример 3.26. Строительная фирма получила в банке долгосрочный кредит в размере 5,0 млн руб. под 6% годовых (проценты сложные), срок погашения через 5 лет. Впоследствии стороны пересмотрели условия займа и выработали новые: через три года производится выплата 3,0 млн руб., остальная сумма выплачивается через четыре года. Процентная ставка сохраняется прежняя. Определить сумму окончательного платежа.     Составим уравнение эквивалентности, приняв за дату приведения момент получения кредита:           где S — искомый размер платежа; S = 3,730 млн руб.     Итого будет выплачено:     3,0 + 3,730 = 6,730 млн руб.        ГЛАВА IV. РЕНТНЫЕ ПЛАТЕЖИ И ИХ АНАЛИЗ    4.1. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ     В предыдущих главах нами рассматривались случаи, когда начисление процентов или дисконтирование производилось по отношению к одноразовому вкладу (депозиту) или ссуде.     Между тем оплата по заключенным сделкам может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени. Погашение среднесрочной и долгосрочной банковской задолженности, коммерческого кредита, инвестирование средств в различные программы, создание денежных фондов целевого назначения и т.п. в большинстве случаев предусматривают выплаты, производимые через определенные промежутки времени. При этом возникает ряд последовательных платежей, которые обычно именуют потоком платежей.     Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени, называется финансовой рентой, или аннуитетом.     Финансовая рента (далее — рента) может быть охарактеризована рядом параметров:     член ренты — величина каждого отдельного платежа;     период ренты — временной интервал между двумя платежами;     срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;     процентная ставка — ставка, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей, составляющих ренту.     Кроме перечисленных параметров рента характеризуется: количеством платежей в течение года, частотой начисления процентов (т.е. количеством периодов в году, когда начисляются проценты), моментом производства платежей (в начале, середине или в конце года) и др.     На практике используются различные виды финансовых рент.     Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми. При производстве платежей несколько раз в году (р раз) ренты называются р-срочными. Кроме того, встречаются ренты, у которых период между платежами может превышать год. Все перечисленные ренты называются дискретными.     Наряду с дискретными встречаются ренты, у которых платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные. Они так и называются — «непрерывные ренты».     В зависимости от частоты начисления процентов различают ренты с начислением процентов один раз в год, несколько раз в году (m раз) и непрерывным начислением.     С точки зрения стабильности размера платежей ренты подразделяются на постоянные (платежи — члены ренты — равны между собой) и переменные.     Рента, выплата которой не ограничена какими-либо условиями, называется верной.     Рента, выплата которой обусловлена наступлением какого-либо события, называется условной. Естественно, что число членов условной ренты заранее предусмотреть невозможно. Примером условной ренты могут служить страховые взносы, вносимые до наступления страхового случая.     Ренты могут иметь конечное число членов (ограниченные ренты) и быть с бесконечным числом членов (вечные ренты). Так, например, правительствами ряда стран выпускаются облигационные займы без ограничения срока погашения. Доходы по этим облигациям, выплачиваемые через определенные промежутки времени, являются членами вечной ренты.     По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на немедленные, когда платежи производятся сразу же после заключения контракта, и отложенные (отсроченные), срок реализации которых откладывается на указанное в контракте время.     По моменту выплат членов ренты последние подразделяются на обычные (постнумерандо), в которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т.д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.     Обобщающими показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (приведенная) величина.     Наращенная сумма — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.     Современная величина потока платежей — сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему. Современная величина показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые бы начислялись установленные проценты в течение срока ренты, можно было обеспечить получение наращенной суммы.     Обобщающие характеристики ренты используются в финансовом анализе при заключении различных коммерческих сделок, для планирования погашения задолженности, сравнения эффективности контрактов, имеющих различные условия их реализации.      4.2. НАРАЩЕННАЯ СУММА ОБЫЧНОЙ РЕНТЫ     Изложение методов расчета наращенной суммы годовой ренты проиллюстрируем следующим примером.     Пример 4.1. Владелец малого предприятия принял решение создать страховой фонд. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого года в банк вносится 10,0 тыс. руб. под 20% годовых с последующей их капитализацией, т.е. с прибавлением к уже накопленной сумме.     Примем обозначения:     R — величина ежегодного взноса;     i — процентная ставка;     n — срок ренты.     Представим эту финансовую операцию следующей таблицей.    Период взноса, Порядковый номер взноса год 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й 1-й 10,0 — — — — 2-й 10,0 1,2 0,0 — — — 3-й 10,0 1,2 10,0 1,2 10,0 — — 4-й 10,0 1,2 10,0 1,2 10,0 1,2 10,0 — 5-й 10,0 1,2 10,0 1,2 10,0 1,2 10,0 1,2 10,0 Итого R (1+i ) =  = 10 (1+ 0,2) = = 10,0 1,2 R (1+i ) =  = 10,0 1,2 R (1+i ) =  = 10,0 1,2 R (1+i ) =  = 10,0 1,2 R= 10,0   Как видно из таблицы, на вносимые платежи в течение всего срока ренты начисляются проценты в следующем порядке:     На 1-й взнос 4 раза: R (1 + i) = R (1 + i).     На 2-й взнос 3 раза: R (1 + i) = R (1 + i).     На 3-й взнос 2 раза: R (1 + i) = R (1 + i).     На 4-й взнос 1 раз: R (1 + i) = R (1 + i).     На 5-й взнос проценты не начисляются — R.     Наращенная сумма к концу срока ренты составит сумму членов этого ряда, который, если его переписать в обратном порядке, является возрастающей геометрической прогрессией, где R — 1-й член прогрессии, а величина (1 + i) — знаменатель прогрессии*1.   —   *1 Напомним, что геометрической прогрессией называется ряд чисел, в котором каждый член ряда равен произведению предыдущего члена на постоянное число — знаменатель прогрессии в данном примере равен 2.     Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле:         где а- первый член прогрессии     q — знаменатель програессии     Тогда сумму членов ряда, т.е. наращенную сумму ренты, можно определить по формуле:         (4.1)     Величина является коэффициентом наращения ренты, который иногда называют также коэффициентом аккумуляции вкладов. Он показывает, во сколько раз наращенная сумма ренты больше первого члена ренты.     Обозначим коэффициент наращения S , где подстрочные символы n , i указывают на срок ренты и применяемую процентную ставку. Тогда формула (4.1) примет вид:    S = R S.  (4.2)     Значения коэффициента наращения (S) табулированы (см. Приложение 4), что облегчает ведение расчетов.     По данным примера (4.1) рассчитаем наращенную сумму ренты:           Эту же величину можно получить, выбрав по Приложению 4 коэффициент наращения ренты S = 7,4416.     Нами был рассмотрен метод расчета наращенной суммы, когда рентный платеж производился один раз в году и начисление процентов также раз в году. Вместе с тем в контрактах могут предусматриваться и другие условия поступления рентных платежей и порядок начисления процентов на них. Рассмотрим ряд вариантов.     1) Рентные платежи вносятся раз в году, а проценты на них начисляются несколько раз в году (m раз в году). В этом случае начисление процентов каждый раз будет производиться по ставке , где j — номинальная (годовая) ставка сложных процентов. Величина же наращенной суммы будет определяться по формуле:         (4.3)     где n — срок ренты в годах.     Пример 4.2. Страховая компания, заключившая договор с производственной фирмой на 3 года, поступающие ежегодные страховые взносы — 500,0 тыс. руб. помещает в банк под 15% годовых с начислением процентов по полугодиям.     Сумма, полученная страховой компанией по этому контракту, составит:           Расчет наращенной суммы при начислении процентов m раз в году можно производить с помощью табулированных коэффициентов наращения S и S . Для этого воспользуемся отношением:           где m — число периодов начисления процентов в течение года;     n — срок ренты;     j — номинальная ставка.     В этом случае наращенная сумма определяется по формуле:         (4.4)     По Приложению 4 находим:           2) Рентные платежи вносятся несколько раз в году равными суммами (p-срочная рента), а начисление процентов производится раз в году, в конце его (m = 1).     Тогда: годовой платеж R; первый член ренты , а коэффициент наращения определяется по формуле:       (4.5)     где p — число поступлений рентных платежей в течение года;     i — процентная ставка;     n — срок ренты в годах.     Наращенная сумма для p-срочной ренты определяется по формуле:       (4.6)     Пример 4.3. Страховая компания принимает установленный годовой страховой взнос тыс. руб. дважды в год — по полугодиям в размере 250 тыс. руб. каждый в течение 3 лет. Банк же, обслуживающий страховую компанию, начисляет ей проценты из расчета 15% годовых (сложные проценты) один раз в году. R = 5,0; n = 3; p = 2; m = 1.     Сумма, полученная компанией по истечении срока договора, составит:           3) Рентные платежи вносятся несколько раз в году (p-срочная рента), начисление процентов производится m раз в году, число периодов начисления процентов в течение года равно числу рентных платежей в течение года, т.е. m = p.  

Пролистать наверх