ФИНАНСОВЫE ВЫЧИСЛEНИЯ ТEОРИЯ И ПРАКТИКА УЧEБНО-СПРАВОЧНОE ПОСОБИE 36

    С помощью таблицы смертности устанавливается вероятное число выплат по случаю смерти застрахованных или по дожитии ими до окончательного срока страхования, а при известных страховых суммах определяется размер страхового фонда, необходимого для страховых выплат. Таблицы смертности служат также основой для расчета тарифных ставок по договорам долгосрочного страхования жизни.     Взносы, аккумулируемые страховщиком, могут быть использованы как кредитные ресурсы, приносящие определенный доход, т.е. они могут быть помещены в банк или инвестированы каким-либо другим способом. Инвестированная сумма P (страховые взносы) через определенное время вырастет до величины S, наращение при этом производится по сложным процентам.     Используя таблицу смертности, страховщик может определить величину страхового фонда B, необходимого для выплаты в обусловленные сроки страховых сумм.     Так, например, если страховщик заключил договор на страхование жизни с мужчиной 45-летнего возраста на 5 лет, то через пять лет, согласно таблице смертности, до возраста 50 лет (х = 50) доживет 79 519 мужчин из совокупности l = 84 204 человек. Следовательно, и число выплат будет 79 519. Предположим, что страховая сумма каждого договора составляла 20 тыс. руб., тогда, чтобы обеспечить все выплаты, необходим страховой фонд в размере 79 519 20 = 1 590 380 тыс. руб. Страховщик предполагает всю сумму страховых взносов инвестировать под 9% годовых. Поэтому в момент заключения договора эта сумма может быть значительно меньше. Использовав метод дисконтирования, определим эту сумму:     Следовательно, чтобы через 5 лет иметь средства для выплаты страховых сумм по дожитии, страховщик должен располагать в начале страхования фондом в размере 1 033 638 тыс. руб. Эту сумму и нужно собрать со страхователей. То есть каждый страхователь, заключивший в 45-летнем возрасте договор на дожитие сроком на 5 лет, внесет единовременную сумму, равную     Рассчитанная сумма (12 275 руб.) является единовременной нетто-ставкой, предполагающей уплату взноса в начале срока страхования.     Экономическая сторона страховых операций основана на так называемом принципе нуля, который предполагает равенство взаимных финансовых обязательств страховщика и страхователя.     При единовременном взносе страхователь сразу при заключении договора погашает свои обязательства перед страховщиком и в дальнейшем не производит никаких дополнительных взносов.     Наряду с единовременной ставкой существуют годичные нетто-ставки, особенности которых будут рассмотрены ниже.     Расчет единовременной нетто-ставки по дожитию производится следующим образом:         (13.1)     где — единовременная нетто-ставка по страхованию на дожи- тие для лица в возрасте х лет при сроке страхования n лет;     — число лиц, доживших до окончания срока страхования;     — число лиц, заключивших договор в возрасте х лет;     — дисконтный множитель;     S — страховая сумма.     Рассчитаем нетто-ставку по приведенным выше условиям, использовав формулу (13.1):     руб.     Величина 0,6138 показывает размер нетто-ставки с каждой тысячи рублей страховой суммы, т.е. 613,8 руб.     На случай смерти единовременная нетто-ставка рассчитывается по формуле:         (13.2)     где — единовременная нетто-ставка по страхованию на слу- чай смерти для лица в возрасте х лет сроком на n лет;     , ,… — количество умирающих в течение срока страхования;     V — дисконтный множитель;     S — страховая сумма.     Предположим, что мужчина, достигший 55-летнего возраста (х), решил оформить страховку на случай своей смерти сроком на 5 лет на сумму 10,0 тыс. руб.     Страховая компания предполагает инвестировать страховую сумму под 9% годовых.     Для расчета нетто-ставки на случай смерти из таблицы смертности выберем числа умерших в интервале от х до х и умножим эти числа на соответствующие дисконтные множители. Разделив сумму этих произведений на число лиц, заключивших страховой договор в возрасте 55 лет, получим искомую величину:     руб.,     т.е. с каждой тысячи рублей страховой суммы нетто-ставка составит 85,1 руб.     Следовательно, для заключения страхового договора на случай смерти на 10 тыс. руб. страхователь должен внести 0,0851 10 тыс. руб. = 0,851 тыс. руб.     При наступлении страхового случая, т.е. если страхователь умрет в этот период, недостающие средства поступают из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, кроме того, добавится и доход от процентов.     Методика построения единовременных нетто-ставок по страхованию пенсии отличается от ранее рассмотренных методов страхования по дожитию или смерти.     Страхование пенсии — это вид личного страхования, по которому страховщик обязуется платить застрахованному лицу в установленные сроки регулярный доход.     Такой вид страхования можно рассматривать как вид рентных платежей, предполагающий пожизненную или временную выплату доходов. Дополнительными условиями страхования могут быть немедленные или отсроченные регулярные выплаты, т.е. производимые сразу после уплаты страховых взносов или по истечении установленного периода.     Для вычисления современной нетто-ставки при данном виде страхования примем следующий ход рассуждений. Предположим, что страховая компания обязалась выплачивать застрахованному лицу в возрасте х лет в течение всей его жизни ежегодно определенную сумму и что эта выплата будет производиться с первого же года страхования в начале каждого года. Ее размер составляет 1 руб. Далее предположим, что договор на подобный вид страхования заключили все лица в возрасте х лет. В этом случае первая выплата будет произведена всем лицам немедленно после заключения договора страхования и составит l руб. Во втором году следует выплатить руб. Современная стоимость выплаты во втором году составит V. Современная стоимость выплаты третьего года — V , четвертого года — V и т.д. Последняя выплата будет спустя w — x лет, где w — предельный возраст в таблице смертности. Современная величина последней выплаты составит l руб.     Современная стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем l лицам, выразится суммой:     l + V + V +…+ l .     Для получения современной величины финансовых обязательств по отношению к одному лицу, т.е. нетто-ставки по страхованию пожизненной ренты — пренумерандо, эту сумму необходимо поделить на число лиц, заключивших договор страхования:           В окончательном виде формула нетто-ставки примет вид:         (13.3)     где w — заданный предельный возраст;     S — размер систематических пожизненных выплат.     Величина в скобках формулы (13.3) представляет собой специфический коэффициент приведения. Его можно охарактеризовать как сумму дисконтированных платежей, равных 1 руб., с учетом вероятности каждой выплаты. Такую последовательность называют страховым аннуитетом.     Если рента выплачивается не пожизненно, а только до определенного возраста, то формула приобретает вид:         (13.4)     где n — возраст, до которого выплачивается рента.     При заключении страхового договора на условиях ренты постнумерандо (рентные платежи выплачиваются в конце года) нетто-ставка рассчитывается по формуле:         (13.5)     Пример 13.1. Мужчина в возрасте 65 лет (х) заключает страховой договор на получение дополнительной пенсии до достижения 70 лет на сумму 500 руб. Рассчитать единовременную нетто-ставку для ренты пренумерандо. Страховая компания использует годовую ставку — 9%.    х l V lV 65 55 048 — 55 048 66 52 831 1,09 48 468,8 67 50 554 1,09 42 550,3 68 48 221 1,09 37 710,4 69 45 836 1,09 3 241 164       216 248,9   руб.      13.3. РАСЧЕТ НЕТТО-СТАВОК ПО КОММУТАЦИОННЫМ ЧИСЛАМ     На практике для существенного сокращения объема работ, связанных с расчетом нетто-ставок, применяются специальные технические показатели — коммутационные функции, на основе которых подсчитываются коммутационные числа. Последние делятся на две группы, в первой из них в основу положены числа живущих, во второй — числа умерших. И те и другие показатели берутся из таблицы смертности.     При расчете коммутационных чисел учитывается принятая страховой компанией норма накопления.     Предварительно запишем несколько промежуточных величин, рассчитанных на основе таблицы смертности:    D = l V(1),     где l — число доживающих до возраста х лет;     V — дисконтный множитель.     N = D + Dx + 1 +…+ D(2) — сумма значений D.     C = d V(3),     где d — число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х + 1 лет.     M = C +…+ C(4) — сумма значений С.     R = M +…+ M(5) — сумма значений М.     Принцип перевода в коммутационные числа формул, применяемых для расчета нетто-ставок, рассмотрим на примере единовременной нетто-ставки по дожитию.     Если в выражении (13.1) числитель и знаменатель умножить на одно и тоже число V, то оно примет следующий вид:           или         (13.6)     Аналогичные преобразования остальных формул придадут им следующий вид:     для расчета единовременной нетто-ставки на определенный срок на случай смерти         (13.7)     для пожизненного страхования на случай смерти         (13.8)     для пожизненной ренты-пренумерандо         (13.9)     для временной ренты-пренумерандо         (13.10)     для временной ренты-постнумерандо         (13.11)     Ниже приведена таблица коммутационных чисел в сокращенном виде (табл. 13.2).     Таблица 13.2    Коммутационные таблицы    Норма накопления 9,00%, мужчины    х D N C M C M 30 6 950,424689 76 703,000313 24,340037 617,149434 25,411744 644,322925 31 6 352,196375 69 752,575624 23,599076 592,809397 24,638159 618,911181 32 5 804,104020 63 400,379249 22,639935 569,210321 23,636786 594,273022 33 5 302,226139 57 596,275228 21,678294 546,570386 22,632803 570,636236 34 4 842,749356 52 294,049089 20,672120 524,892092 21,582327 548,003433 35 4 422,217198 47 451,299733 19,774192 504,219972 20,644863 526,421106 36 4 037,305806 43 029,082535 19,048534 484,445780 19,887253 505,776243 37 3 684,901747 38 991,776729 18,610506 465,397246 19,429939 485,888990 38 3 362,033298 35 306,874983 18,357868 446,786740 19,166177 466,459051 39 3 066,076350 31 944,841685 18,242935 428,428872 19,046183 447,292874 40 2 794,671148 28 878,765334 18,167868 410,185937 18,967811 428,246691 41 2 545,750616 26 084,094186 17,980825 392,018069 18,772532 409,278879 42 2 317,570199 23 538,343570 17,676223 374,037244 18,454519 390,506347 43 2 108,534969 21 220,773371 17,186564 356,361021 17,943300 372,051828 44 1 917,249187 19 112,238402 16,574488 339,174457 17,304273 354,108529 45 1 742,369721 17 194,989215 15,946317 322,599969 16,648443 336,804256 46 1 582,558015 15 452,619494 15,343714 306,653653 16,019308 320,155813 47 1 436,544372 13 870,061479 14,843756 291,309938 15,497336 304,136504 48 1 303,086861 12 433,517107 14,439024 276,466182 15,074783 288,639168 49 1 181,053509 11 130,430246 14,120966 262,027158 14,742721 273,564385 50 1 069,414363 9 949,376738 13,831020 247,906192 14,440009 258,821663 51 967,283075 8 879,962374 13,504004 234,075172 14,098594 244,381654 52 873,911661 7 912,679299 13,126311 220,571168 13,704271 230,283061 53 788,627507 7 038,767638 12,690342 207,444858 13,249106 216,578790 54 710,821132 6 250,140132 12,210657 194,754515 12,748300 203,329683 55 639,918822 5 539,319000 11,723667 182,543859 12,239868 190,581384 56 575,357821 4 899,400178 11,270635 170,820191 11,766888 178,341516 57 516,580577 4 324,042357 10,866483 159,549556 11,344941 166,574627 58 463,060652 3 807,461781 10,495577 148,683074 10,957704 155,229686 59 414,330709 3 344,401129 10,128881 138,187497 10,574862 144,271982 60 369,991036 2 930,070420 9,745974 128,058616 10,175095 133,697120 61 329,695343 2 560,079384 9,318993 118,312642 9,729314 123,522025 62 293,153799 2 230,384041 8,865372 108,993649 9,255720 113,792711 63 260,083068 1 937,230241 8,407030 100,128278 8,777196 104,536991 64 230,201290 1 677,147173 7.949168 91,721248 8,299175 95,759795 65 203,244676 1 446,945883 7,509600 83,772008 7,840253 87,460620 66 178,953405 1 243,701207 7,075997 76,262480 7,387558 79,620367 67 157,101439 1 064,747801 6,651397 69,186483 6,944262 72,232808 68 137,478363 907,646363 6,238211 62,535085 6,512883 65,288546 69 119,888728 770,168000 5,833512 56,296875 6,090365 58,775663 70 104,156147 650,279271 5,437704 50,463363 5,677130 52,685298 71 90,118393 546,123125 5,049311 45,025658 5,271636 47,008167 72 77,628114 456,004731 4,671308 39,976347 4,876989 41,736532 73 66,547145 378,376617 4,300903 35,305039 4,490275 36,859543 74 56,751523 311,829472 3,941104 31,004136 4,114633 32,369268 75 48,124514 255,077949 3,588506 27,063032 3,746510 28,254635 76 40,562424 206,953435 3,251514 23,474526 3,394681 24,508124 77 33,961719 166,391011 2,926439 20,223011 3,055292 21,113444 78 28,231101 132,429292 2,615200 17,296573 2,730349 18,058152 79 23,284893 104,198191 2,319189 14,681373 2,421305 15,327803 80 19,043098 80,913298 2,039352 12,362183 2,129147 12,906498 81 15,431380 61,870200 1,776266 10,322831 1,854476 10,777352   Пример 13.2. Используя таблицу коммутационных чисел, рассчитать единовременные нетто-ставки.     а) По дожитию, при условии х; n = 5; S = 20 тыс. руб.     руб.     б) На случай смерти, при условии х; n = 5; S = 10 тыс. руб.     руб.      13.4. РАСЧЕТ ГОДИЧНЫХ НЕТТО-СТАВКИ И БРУТТО-СТАВКИ     Как ранее указывалось, при расчете единовременной нетто-ставки предполагается, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора о страховании. На практике такие случаи встречаются крайне редко. Основная масса страхователей предпочитает платить взносы в течение всего срока страхования. В связи с этим возникает необходимость расчета годичных нетто-ставок.     Единовременная нетто-ставка отличается по своей величине от годичной ставки по ряду причин. Во-первых, при единовременной уплате страхового взноса он может быть сразу после его поступления каким-либо образом инвестирован и на эту сумму будут начисляться проценты. При годичных же взносах в связи с их постепенным поступлением сумма начисленных процентов будет значительно меньше, чем при единовременном взносе, в результате чего страховщик получит меньший страховой фонд. Во-вторых, при единовременном взносе его уплачивают все лица, заключившие страховой договор, а при годичной уплате ряд страхователей прекратит взносы в результате своей смерти.     Таким образом, при расчете годичной нетто-ставки необходимо учитывать частичную потерю процентных сумм и снижение числа платежей в результате смерти некоторой части застрахованных лиц.     Для перехода от единовременной нетто-ставки к годичной используются так называемые коэффициенты рассрочки.     При расчете ежемесячного взноса исходят из того, что условия страхования предоставляют страхователю право помесячной уплаты взносов, с тем чтобы к концу года было бы произведено полное погашение суммы годичного взноса. При этом руководствуются следующим.     Допустим, что все мужчины, достигшие 55-летнего возраста, обязались в конце каждого страхового года вносить страховой компании 1 руб. в течение 5 лет. Тогда в конце первого года будет внесено 71 750 руб. (l 1 руб.). Современная стоимость этой суммы, т.е. в момент заключения договора, составит величину l V. Если норма накопления в данной страховой компании принята 9%, то современная стоимость этой суммы равна 71 750 1,09 = 6559,6330 руб.     Во втором году современная стоимость взносов составит l V, в третьем году — l V, в n-м году — l V.     Для каждого страхователя сумма современных стоимостей годичных взносов будет:     Рассчитываемое по приведенному выражению значение можно рассматривать в качестве коэффициента рассрочки. Абсолютная величина коэффициентов рассрочки близка к значению n — срока страхования, но несколько ниже его.     Коэффициент рассрочки — показатель, применяемый для исчисления годичных тарифных ставок в долгосрочном страховании жизни. Иначе говоря, коэффициент рассрочки представляет собой стоимость взносов в размере 1 руб., производимых в течение определенного срока в конце или в начале страхового года (рента — постнумерандо или пренумерандо).     Пример 13.3. Используя формулу (13.9), рассчитать коэффициент рассрочки для мужчин в возрасте 30 лет, заключивших страховой договор на 5 лет.     Выбрав из коммутационной таблицы необходимые данные, получим:     При расчете годичной ставки принимается во внимание следующее. Современная стоимость годичного взноса в 1 руб. представляет собой коэффициент рассрочки. В силу этого можно составить пропорцию: искомый годичный взнос так относится к 1 руб., как современная стоимость всех годичных взносов (единовременная нетто-ставка) — к современной стоимости суммы годичных взносов в размере 1 руб. (коэффициенту рассрочки), т.е.           где — годичный взнос;     — единовременный взнос;     — коэффициент рассрочки.     Откуда         (13.12)     Использование коэффициентов рассрочки способствует тому, что размеры годовых ставок становятся более высокими, чем если бы мы просто делили единовременную ставку на количество лет страхования. Это также позволяет возмещать потери процентных денег и уменьшение числа лиц, производящих страховые взносы.     Используя формулы (13.4), (13.9) и (13.10), определим выражения для исчисления годичных нетто-ставок постнумерандо:     на дожитие         (13.13)     на случай смерти         (13.14)     Расчет ряда нетто-ставок по страхованию на дожитие и на случай смерти приведен в табл. 13.3. Для расчета были использованы данные приведенной выше таблицы коммутационных чисел.     Таблица 13.3    Начальный возраст застрахованного, лет Нетто-ставка по страхованию, pуб.   На дожитие На случай смерти   Срок страхования 5 лет 30 0,1655 0,0042 40 0,1639 0,0082 50 0,1608 0,0164 60 0,1544 0,0336   Срок страхования 10 лет 30 0,0640 0,0047 40 0,0622 0,0094 50 0,0585 0,0190 60 0,0517 0,0385   Приведенные в табл. 13.3 данные свидетельствуют об определенной закономерности изменения величины нетто-ставки в зависимости от возраста застрахованного лица и срока страхования. Чем меньше возраст застрахованного, тем выше нетто-ставка на дожитие и тем ниже по страхованию на случай смерти.     При страховании жизни страховой фонд создается за счет взносов лиц одного и того же возраста, заключивших договоры на одинаковые сроки. Страховщик при наступлении страхового случая производит перераспределение средств страхового фонда, созданного за счет страхователей, в пользу того, с кем произошел страховой случай.     На основе нетто-ставки происходит аккумуляция средств для выплаты страховых сумм, но страховщик должен еще иметь средства на оплату дополнительных расходов — оплату труда работников, содержание помещений и т.д., а также получить доход.     Покрытие этих расходов происходит за счет страхователей. В связи с этим к нетто-ставке присоединяется нагрузка, в результате чего формируется брутто-ставка.     Формулу брутто-ставки запишем в следующем виде:           откуда         (13.15)     где — брутто-ставка для лица в возрасте х, застрахованного на n лет;     — нетто-ставка;  

Пролистать наверх