ФИНАНСОВЫE ВЫЧИСЛEНИЯ ТEОРИЯ И ПРАКТИКА УЧEБНО-СПРАВОЧНОE ПОСОБИE 7

  т.е. эффективная учетная ставка меньше номинальной учетной ставки.     Пример 2.17. Кредитное обязательство, равное 1,5 млн руб., со сроком погашения через 4 года, было учтено в банке по учетной ставке 8% годовых, начисление дисконта — по полугодиям.     Определим современную величину обязательства и эффективную учетную ставку:     S = 1,5 млн руб.; = 0,08; m = 2; n = 4  млн руб.             Величина номинальной ставки f при дисконтировании m раз в году определяется по формуле:         (2.25)     Срок ссуды определяется при дисконтировании по сложной годовой ставке:         (2.26)     при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году:         (2.27)        2.5. СРАВНЕНИЕ МНОЖИТЕЛЕЙ НАРАЩЕНИЯ И ДИСКОНТИРОВАНИЯ   Выше для расчета наращенных сумм и дисконтирования были использованы различные виды ставок: i ; i ; j; ; d; d .     Использование в финансовой сделке различных видов ставок, при прочих равных условиях, приводит к различным финансовым результатам.     Так как результаты финансовых сделок зависят от числа периодов начисления процентов, то при равенстве этих ставок, т.е. i = i = d = d , множители наращения будут представлять следующий мажорантный ряд:     при n < 1    (1 + i )< (1 + n i ) < (1 — n d)-1 < (1 — d );     при n > 1    (1 + n i ) < (1 + ic) < (1 — dc) < (1 — n d );     при n = 1    (1 + n i ) = (1 + i ) < (1 — n d ) = (1 — d ).     Система неравенств для дисконтных множителей:     при n < 1    (1 — d ) < (1 — n d ) < (1 + n i )-1 < (1 + i );     при n > 1    (1 — n d ) < (1 — d ) < (1 + i )-n < (1 + n i );     при n = 1    (1 — n d ) = (1 — d ) < (1 + n i )-1 = (1 + i ).     Эти соотношения между множителями наращения, а также дисконтными множителями используются в финансовом менеджменте для выбора стратегии, которой следует банк или коммерческая структура.     Финансовые последствия при использовании номинальных ставок j и зависят от принятого значения величины m, которое может варьироваться в широком диапазоне.      2.6. ДЕЙСТВИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ПРОЦЕНТАМИ     Начисление процентов на первоначальный капитал, или дисконтирование наращенных сумм, может производиться так часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный. В этом случае используются непрерывные проценты. Суть непрерывных процентов заключается в том, что количество периодов наращения или дисконтирования стремится к бесконечности, а временной интервал между периодами — к нулю.     Непрерывные проценты используются при обосновании и выборе инвестиционных проектов, при количественном финансово-экономическом анализе сложных хозяйственных процессов.     Непрерывное наращение процентов производится с помощью особого вида процентной ставки, именуемой силой роста. Сила роста есть относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени, т.е.           где     Она может быть постоянной или переменной величиной.     Постоянная сила роста. При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется с помощью выражения         По определению непрерывных процентов чем больше величина m (число m стремится к бесконечности), тем меньше временные промежутки между периодами начисления процентов (они стремятся к нулю).     В этом случае мы можем записать:         В приведенном выражении           где e — основание натуральных логарифмов.     Величина e — множитель наращения при непрерывной капитализации процентов, а наращенная сумма при этом равна:    S = P e     Если ставку непрерывных процентов (силу роста) обозначить через d, то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:    S = P e.  (2.28)     Так как дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения, т.е.    (1 + i) = e, откуда e = (1 + i).     Следовательно    d = ln (1 + i);  (2.29)      i = e — 1.  (2.30)     Пример 2.18. На первоначальный капитал в сумме 500 тыс. руб. начисляются сложные проценты — 8% годовых в течение 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.    = ln (1 + i) = ln 1,08 = 0,0769611;    S = P e = P e = 500 1,3605 = 680,245 тыс. руб.      Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок     Из выражения S = P eопределим современную величину P:         (2.31)     Непрерывная учетная ставка, используемая при дисконтировании, называется силой дисконта (Y). Сила роста равна силе дисконта, так как оба эти показателя относятся к бесконечно малым отрезкам времени, поэтому возникает равенство:           На основании этого равенства можно сделать вывод: использование для дисконтирования непрерывной учетной ставки Y (силы дисконта) или непрерывной процентной ставки (силы роста) приводит к одному и тому же результату.     Переменная сила роста. С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой.     Если сила роста () описывается некоторой непрерывной функцией времени , то величину наращенной суммы можно записать следующим образом:       (2.32)     а современную величину       (2.33)     Рассмотрим ряд вариантов метода расчета множителя наращения при дискретно изменяющейся силе роста при условии, что она является линейной функцией времени.     а) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии и принимает значения , , …, в интервалах , , …. Тогда за период первоначальная сумма возрастет до величины  S = P e,     за следующий период наращенная сумма будет равна:    S = P e e = P e и т.д.     По истечении срока ссуды наращенная сумма составит:    S = P e e = P e.  (2.34)     Если общий срок наращения равен n, то         а средняя величина силы роста         Отсюда       следовательно,      (2.35)     Пример 2.19. Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет, если сила роста (d) изменяется дискретно и составляет: первый год — 7%, второй и третий годы — по 8%, последние два года — по 10%.           Множитель наращения e = 1,53726.     б) Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается линейным уравнением:         где — начальная величина силы роста для t = 0;     а — годовой прирост (снижение), может быть положительной или отрицательной величиной.     Для нахождения степени множителя наращения решим интеграл:           Множитель наращения определяется как         Пример 2.20. Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет, если начальная сила роста равнялась 10%, а ежегодный прирост 3%.     По условию = 0,1; a = 0,03; n = 5:         Множитель наращения e = 2,39888.     Предположим, что величина а характеризует не рост, а снижение, тогда степень множителя наращения будет равна:           Множитель наращения e = 1,13315.     в) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии:    ,     где — начальная величина силы роста для t = 0;     а — знаменатель геометрической прогрессии (годовой коэффициент роста).     Для нахождения степени множителя наращения решим интеграл:           а множитель наращения определится как     (2.36)     Пример 2.21. Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет, если начальная сила роста равна 10%, а процентная ставка ежегодно увеличивается на 3%.           Срок ссуды при наращении по непрерывным процентам определяется по формулам:     а) при наращении по постоянной ставке непрерывных процентов         (2.37)     б) при наращении по изменяющейся ставке непрерывных процентов, когда сила роста изменяется в геометрической прогрессии:         (2.38)     Пример 2.22. Определить срок, необходимый для увеличения первоначальной суммы в три раза, при начислении по изменяющейся с постоянным темпом роста ставке непрерывных процентов, если начальная ставка = 0,15, а годовой темп ее роста а = 1,05.     По условиям задачи , тогда  года.     Зная величину первоначальной и наращенной суммы, а также срок ссуды и темп роста первоначальной силы роста, можно определить величину силы роста:     а) при наращении по постоянной ставке непрерывных процентов:        (2.39)     б) при наращении по изменяющейся ставке непрерывных процентов :       (2.40)     Пример 2.23. Определить начальное значение силы роста, если за 4 года первоначальная сумма увеличилась на 150%, а годовой темп роста ставки составлял 120%.     По условию задачи: = 2,5; а = 1,2; n = 4.          2.7. РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ     Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют, чтобы они учитывались в финансовых расчетах. Особенно необходимо учитывать воздействие инфляции при вычислении наращенных сумм и определении действительной ставки процентов.     Внешними признаками инфляции являются прежде всего рост цен и, как следствие, снижение покупательной способности денег.     Если индекс цен мы обозначим I, а покупательную способность денег через I, то   Действительно, представим, что сегодня 1 кг какого-либо продукта стоит 1000 руб., а завтра его цена составит 1250 руб. В этом случае индивидуальный индекс цены на этот продукт будет равен , т.е. цена возросла на 25%. Следовательно, этого же продукта на 1000 руб. по новой цене можно приобрести кг, т.е. Индекс покупательной способности денег есть величина, обратная индексу цен. Отсюда следует, что отношение наращенной суммы денег к индексу цен характеризует реальную покупательную способность наращенной суммы.     Допустим, что в течение двух лет цены в среднем растут ежегодно на 12,0% (I = 1,120), тогда за два года они вырастут более чем на 25%, так как 1,2 = 1,2544. Если первоначальная сумма (P = 0,2 млн руб.) была бы помещена в банк под 18% годовых (сложные проценты) на два года, то по истечении этого срока наращенная сумма составит:  

Пролистать наверх