НИВОРОЖКИНА Л П МОРОЗОВА 3 А ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛEМEНТАМИ ТEОРИИ ВEРОЯТНОСТEЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ РУК-ВО ДЛЯ РEШEНИЯ ЗАДАЧ РНД ФEНИКС 1999 320 С 2

 Вероятность произведения двух независимых со­бытий А и В равна произведению их вероятностей  Р(А В) = Р(А)Р(В),  или (2.8)  Р(А C В) = Р(А)Р(В).  События А1, А2, …, Аn (п > 2) называются неза­висимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.  Распространим теоремы умножения на случаи п независимых и зависимых в совокупности событий.     Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна про­изведению вероятностей этих событий  Р(А1·А2·А3·…·Аn) = Р(А1)·Р(А2)·Р(А3)·…·Р(Аn). (2.9)    Вероятность произведения двух зависимых со­бытий А и В равна произведению вероятности од­ного из них на условную вероятность другого  Вероятность события В при условии появления события А  Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятно­сти всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили  Если события А1 , А2 ,…, Аn — зависимые в со­вокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна  Вероятность появления хотя бы одного собы­тия из п независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей со­бытий, противоположных данным,  Пример 6. Консультационная фирма претендует на 2 заказа от 2 крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения кон­сультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?  Решение. Обозначим события:  А — «Получение консультационной работы в кор­порации А»;  В — «Получение консультационной работы в кор­порации В».  События А и В — зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет или нет событие А.  По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также зна­ем, что Р(В/А) = 0,9.  Необходимо найти вероятность того, что оба со­бытия (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей (2.10).  Отсюда получим  Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 · 0,9 = 0,405.  Пример 7. В большой рекламной фирме 21% ра­ботников получают высокую заработную плату. Из­вестно также, что 40% работников фирмы — жен­щины, а 6,4% работников — женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы ут­верждать, что на фирме существует дискримина­ция женщин в оплате труда?  Решение. Сформулируем условие этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения не­обходимо ответить на вопрос: «Чему равняется ве­роятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?» и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет вы­сокую зарплату.  Обозначим события:  А — «Случайно выбранный работник имеет вы­сокую зарплату»;  В — «Случайно выбранный работник — женщина». События А и В — зависимые. По условию  Р(АВ) = 0,064; Р(В) = 0,40; Р(А) = 0,21.  Нас интересует вероятность того, что наудачу выб­ранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это женщина, т. е. — условная вероят­ность события А.  Тогда, используя теорему умножения вероятностей, получим  Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) = 0,064/0,40 = 0,16.  Поскольку Р(А/В) = 0,16 меньше, чем Р(А) = 0,21, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.  Пример 8. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит: а) на все 3 вопроса; б) хотя бы на 1 вопрос.  Решение. Обозначим события:  А — «Студент знает все 3 вопроса»;  А1 — «Студент знает 1-й вопрос»;  А2 — «Студент знает 2-й вопрос»;  А3 — «Студент знает 3-й вопрос».  По условию  Р(А1) = 20/25; Р(А2/А1) = 19/24; Р(А3,/А2A1) = 18/23.  1) Искомое событие А состоит в совместном на­ступлении событий А1, А2, А3.  События А1, А2, A3 — зависимые.  Для решения задачи используем правило умно­жения вероятностей конечного числа п зависимых событий (2.10):  Р(А) = (20/25)(19/24)(18/23) = 57/115 = 0,496.  Вероятность того, что студент ответит на все 3 вопроса, равна 0,496.  2) Обозначим событие:  В — «Студент ответит хотя бы на один вопрос». Событие В состоит в том, что произойдет или со­бытие А1, а события А2 и А3 — не произойдут, или произойдет событие А2, а события А1 и A3 — не произойдут, или произойдет событие А3 , а события А1 и А2 — не произойдут, или произойдут события А1 и А2 ,а событие A3 — не произойдет, или произойдут события А1 и А3, а событие А2 — не произойдет, или произойдут события А2 и А3 , а событие А1 — не про­изойдет, или произойдут все три ,события А1, А2, А3.  Для решения этой задачи можно было бы исполь­зовать правила сложения и умножения вероятностей. Однако здесь проще применить правило для вероятности наступления хотя бы одного из n зависимых событий (2.13).  Учитывая, что  получим  Р(В) = 1 — (5/25)(4/24)(3/23) = 229/230 = 0,9957.  Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9957.  Пример 9. Вероятность того, что потребитель уви­дит рекламу определенного продукта по телевиде­нию, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба собы­тия — независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?  Решение. Обозначим события:  А — «Потребитель увидит рекламу по телевиде­нию»;   В — «Потребитель увидит рекламу на стенде»;  С — «Потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Это значит, что потребитель увидит рекламу по  телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По условию  Р(А) = 0,04; Р(В) = 0,06.     События А и. В — совместные и независимые.  а) Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий А и В (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т. е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий.  Отсюда  Р(АВ) = Р(А) · Р(В) = 0,04 · 0,06 = 0,0024.  Вероятность того, что потребитель увидит обе рек­ламы, равна 0,0024.  б) Так как событие С состоит в совместном на­ступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей.  Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) = = 0,04 + 0,06 — 0,0024 = 0,0976.  Вместе с тем, при решении этой задачи может быть использовано правило о вероятности наступ­ления хотя бы одного из п независимых событий.  Учитывая, что  Вычисление вероятностей событий такого типа характеризует эффективность рекламы, поскольку эта вероятность может означать долю (процент) на­селения, охватываемого ею, и отсюда следует оцен­ка рекламных усилий.  Задачи к теме 2  1. Анализ работы кредитного отдела банка выя­вил, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение 5 лет. Также известно, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна веро­ятность того, что он окажется не в состоянии вер­нуть долг банку?  2. Модельер, разрабатывающий новую коллек­цию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероят­ность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный — в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет — в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются незави­симо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.  3. Вероятность того, что потребитель увидит рек­ламу определенного продукта по каждому из 3 центральных телевизионных каналов, равна 0,05. Пред­полагается, что эти события — независимы в сово­купности. Чему равна вероятность того, что потреби­тель увидит рекламу: а) по всем 3 каналам; б) хотя бы по 1 из этих каналов?  4. Торговый агент предлагает клиентам иллюс­трированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем 1 из 65 клиентов, кото­рым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил кни­гу 20 клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы 1 книгу? Прокомментируйте предположения, которые вы использовали при решении задачи.  5. В налоговом управлении работает 120 сотруд­ников, занимающих различные должности.  Все  сотрудникиРуководителиРядовые сотрудникиИтого  Мужчины296796  Женщины42024  Итого3387120      На профсоюзном собрании женщины заявили о дискриминации при выдвижении на руководящие должности. Правы ли они?  6. В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 — среднее специальное образование, у 357 высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет или среднее специ­альное, или высшее образование, или и то и другое?  7. Финансовый аналитик предполагает, что если норма (ставка) процента упадет за определенный период, то вероятность того, что рынок акций бу­дет расти в это же время, равна 0,80. Аналитик также считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,40. Используя полученную информацию, определите вероятность того, что рынок акций будет расти, а норма процента падать в течение обсуждаемого периода.  8. Вероятность для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, полу­чить контракт в стране А равна 0,4, вероятность выиграть его в стране В равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?  9. Город имеет 3 независимых резервных источ­ника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного источника электроэнергии. Вероятность того, что любой из 3 резервных источников будет доступен при отклю­чении постоянного источника, составляет 0,8. Ка­кова вероятность того, что не произойдет аварий­ное отключение электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?  10. Покупатель может приобрести акции 2 ком­паний А и В. Надежность 1-й оценивается экспер­тами на уровне 90%, а 2-й — 80%. Чему равна вероятность того, что: а) обе компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банк­ротство?  11. Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 5% счетов будут заполняться с ошибками. Время от времени компа­ния проводит случайную выборку счетов для про­верки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок — 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, чему равна вероят­ность того, что среди них нет ошибок?  12. На сахарном заводе один из цехов произво­дит рафинад. Контроль качества обнаружил, что 1 из 100 кусочков сахара разбит. Если вы случайным образом извлекаете 2 кусочка сахара, чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 1 из них будет разбит? Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случай­ности отбора.  13. Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, с 90%-й вероятностью обратятся за покупкой определенного ассортимента товаров в ее магазины. Если это прои­зойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар в магазинах этой компании с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что об­ладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?  14. Аудиторская фирма размещает рекламу в жур­нале «Коммерсант». По оценкам фирмы 60% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещенной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиен­тами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?  15. В городе 3 коммерческих банка, оценка на­дежности которых — 0,95, 0,90 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перс­пектив развития города администрацию интересу­ют ответы на следующие вопросы: а) какова веро­ятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка; б) что обанкротится хотя бы 1 банк?  16. О двух акциях А и В известно, что они выпу­щены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра под­нимется в цене?  17. Инвестор предполагает, что в следующем пе­риоде вероятность роста цены акций компании N будет составлять 0,7, а компании М — 0,4. Вероят­ность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0,28. Вычислите вероятность их рос­та или компании N, или компании М, или обеих компаний вместе.  18. Крупная торговая компания занимается оп­товой продажей материалов для строительства и ремонта жилья и, имея список покупателей в 3 ре­гионах, основанный на ее собственной системе ко­дов, рассылает им по почте каталог товаров. Ме­неджер компании полагает, что вероятность того, что компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона, равна 0,25. Чему в этом случае равна вероятность того, что компа­ния получит ответ хотя бы из одного региона?  19. Секрет увеличения доли определенного това­ра на рынке состоит в привлечении новых потребителей и их сохранении. Сохранение потребителей то­вара («brand loyalty» — приверженность потребите­ля к данной марке или разновидности товара) — одна из наиболее ответственных областей рыночных ис­следований. Производители нового сорта духов зна­ют, что вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт и создание «brand loyalty» потребует, по крайней мере, 6 месяцев, равна 0,02. Производитель также знает, что вероятность того, что случайно отобранный потребитель примет но­вый сорт, равна 0,05. Предположим, потребитель только что приобрел новый сорт духов (изменил марку товара). Чему равна вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в течение 6 месяцев?  20. Вероятность того, что покупатель, собираю­щийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15, только пакет программ — 0,1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будет куплен или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?    3. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА  Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятнос­тей интересующих нас событий. Затем из источни­ков информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать зна­чения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас собы­тий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.  Последовательность процесса переоценки вероят­ностей можно схематично изобразить так:  Пусть событие А может осуществиться лишь вме­сте с одним из событий Н1, Н2, H3, …, Hn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нi), …, Р(Нn). Так как события Нi образуют полную группу, то  а также известны и условные вероятности события А:  Так как заранее неизвестно, с каким из событий Нi произойдет событие А, то события Нi, называют гипотезами.  Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Нi с учетом полной информации о событии А.  Вероятность события А определяется как  Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вмес­те с одним из событий Н1,Н2 ,Н3, …, Нn, образую­щих полную группу несовместных событий и на­зываемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, …, Нn на соответствующую ус­ловную вероятность события А.  Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле  или  Это — формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.), выражение в знаменателе — формула полной вероятности.  Пример 1. Предприятие, производящее компью­теры, получает одинаковые ЧИПы от 2 поставщиков. 1-й поставляет 65% ЧИПов, 2-й — 35%. Изве­стно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих данных о рейтингах каче­ства составлена табл. 3.1.  Таблица 3.1  Поставщик   % качественной продукции   % брака    1-й поставщик  2-й поставщик   98  95   2  5        Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с не­исправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер укомп­лектован ЧИПом: а) от 1-го поставщика; б) от 2-го поставщика.  Решение задач с использованием формул пол­ной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде табл. 3.2.  Таблица 3.2  Гипотезы  НiВероятности  априорные Р(Нi)условные Р(А/Нi)совместные Р(Нi C А)апостериорные Р(Нi/А)  12345      Шаг 1. В колонке 1 перечисляем события, кото­рые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н1 — ЧИП от 1-го постав­щика; Соб. Н2 — ЧИП от 2-го поставщика. Это — гипотезы и они образуют полную группу независи­мых и несовместных событий.  В колонке 2 записываем вероятности этих событий:  Р(Н1) = 0,65, Р(Н2) = 0,35.  В колонке 3 определим условные вероятности со­бытия А — «ЧИП бракованный» для каждой из  гипотез.  Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для со­бытий «ЧИП от 1-го поставщика и он бракованный» и «ЧИП от 2-го поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. По­скольку сформулированные события являются ре­зультатом пересечения двух событий А и Нi, то их вероятности называют совместными:  Р(Нi C А) = Р(Нi)Р(А/Нi).  Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 — вероятность поставки некачествен­ного ЧИПа от 1-го поставщика, 0,0175 — вероятность поставки некачественного ЧИПа от 2-го постав­щика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от 2 поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, определяемая с помощью формулы (3.1)  Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2):  Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3.3).  Таблица 3.3  Гипотезы  Нi   Вероятности  априорные  Р(Нi)   Условные   Р(А/Нi)   Совместные  Р(Нi C А)   апостериорные Р(Нi/А)    1   2   3   4   5    ЧИП от 1-го постав­щика   0,65   0,02   0,0130   0,426    ЧИП от 2-го постав­щика0,350,050,01750,574  a   a=1     P(A)=0,0305   a=l        Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика стра­ны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успеш­но развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Ис­пользуя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.  Решение. Определим события:  А — «Акции компании поднимутся в цене в бу­дущем году».  Событие А может произойти только вместе с од­ной из гипотез:  Н1 — «Экономика страны будет на подъеме»;  Н2 — «Экономика страны не будет успешно развиваться».  По условию известны вероятности гипотез:  Р(Н1) = 0,80; Р(Н2) = 0,20 и условные вероятности события А:  Р(А/Н1)= 0,75; Р(А/Н2)= 0,30.  Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А — это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А — несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 —  несовместны.  События Н1 и А, Н2 и А — зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для оп­ределения искомой вероятности события А форму­лу полной вероятности    Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = == 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.  Решение оформим в виде табл. 3.4.  Таблица 3.4  Гипотезы НiР(Нi)Р(А/Нi)Р(Нi)Р(А/Нi)  Н1 — «подъем экономики»0,800,750,60  Н2— «спад экономики»0,200,300,06  a1,00 0,66      Вероятность того, что акции компании поднимут­ся в цене в следующем году, составляет 0,66. Ответ. 0,66.  Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американ­ский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он по­дорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероят­ностью 0,20. В течение любого периода времени ве­роятность активного экономического роста — 0,30;  умеренного экономического роста — 0,50 и низко­го роста — 0,20. Предположим, что доллар дорожа­ет в течение текущего периода. Чему равна вероят­ность того, что анализируемый период совпал с пери­одом активного экономического роста?  Решение. Определим события:  А — «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:  Н1 — «Активный экономический рост»;  Н2 — «Умеренный экономический рост»;  Н3 — «Низкий экономический рост». По условию известны доопытные (априорные) ве­роятности гипотез и условные вероятности события А:    Р(Н1) = 0,30, Р(Н2) = 0,50, Р(Н3) = 0,20, Р(А/Н1) = 0,70, Р(А/Н2) = 0,40, Р(А/Н3) = 0,20.  Гипотезы образуют полную группу, сумма их ве­роятностей равна 1. Событие А — это или Н1А, или Н2А, или Н3А. События Н1А, Н2А. и Н3А. — не­совместные попарно, так как события Н1, Н2 и Н3 — несовместны. События Н1 и А, Н2 и А, Н3 и А — зависимые.  Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е. необходимо найти вероятность активного экономи­ческого роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т. е. Р(Н1/А).  Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем  Мы можем получить тот же результат с помо­щью табл. 3.5.  Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.    Таблица 3.5  Для более наглядного восприятия решения на­шей задачи мы можем также построить дерево ре­шений:  Пример 4. В каждой из двух урн содержится 6 чер­ных и 4 белых шара. Из 1-й урны во 2-ю наудачу переложен один шар.  а) Найти вероятность того, что шар, извлечен­ный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным.  б) Предположим, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар?  Решение. Определим события:  А — «Шар, извлеченный из 2-й урны, черный». Оно может произойти только вместе с одной из ги­потез:  Н1 — «Из 1-й урны во 2-ю урну переложили чер­ный шар» и Н2 — «Из 1-й урны во 2-ю переложили  белый шар».  Используя классическое определение вероятнос­ти, найдем вероятности гипотез  Р(Н1) = 6/10; Р(Н2) = 4/10  и условные вероятности события А.  После перекладывания во 2-й урне окажется 11 шаров. Если из 1-й урны во 2-ю переложили чер­ный шар, то во 2-й урне окажется 7 черных и 4 бе­лых шаров, тогда  Р(А/Н1) = 7/11.  Если из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар, то во 2-й урне окажется 6 черных и 5 белых шаров, тогда  Р(А/Н2) = 6/11.  Гипотезы образуют полную группу, сумма их веро­ятностей равна 1. Рассмотрим событие А — это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А — несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 — несовместны. События Н1 и А, Н2 и А — зависимые.  1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на 1-й вопрос формулу полной вероятности (3.1)  Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)= = 6/10 · 7/11 + 4/10 · 6/11 = 0,6.  Это же решение можно оформить в виде табл. 3.6.  Таблица 3.6  Гипотезы НiР(Нi)Р(А/Нi)Р(Нi)Р(А/Нi)  Н1— «из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар»6/107/1142/110  Н2— «из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар»4/106/1124/110  a1,000,6      Вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным, составляет 0,6.  2. Во 2-й части задачи предполагается, что собы­тие А уже произошло, т. е. шар, извлеченный из 2-й урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность 2-й гипотезы, т. е. необходимо определить вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным:  Р(Н2/А).  Для определения искомой вероятности восполь­зуемся формулой Байеса (3.2)  Мы можем получить тот же результат с помо­щью табл. 3.7.  Таблица 3.7  Вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, ока­зался черным, составляет 0,3636.  Ответ. а) 0,6; б) 0,3636.  Задачи к теме 3  1. Директор компании имеет 2 списка с фамили­ями претендентов на работу. В 1-м списке — фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке оказа­лись 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предполо­жить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была пе­ренесена фамилия женщины?  2. Агент по недвижимости пытается продать уча­сток земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с ве­роятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономичес­кая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консуль­тирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев?  3. Судоходная компания организует средиземно­морские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важ­но, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, бу­дет равна 0,92, если доллар не подорожает по отно­шению к рублю, и с вероятностью — 0,75, если дол­лар подорожает. По оценкам экономистов, вероят­ность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна ве­роятность того, что билеты на все круизы будут проданы?  4. В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответству­ющие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он опреде­ляет вероятность того, что новый товар более высо­кого качества по сравнению с аналогичными в 0,5, такого же качества — в 0,3, хуже по качеству — в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар конку­рентоспособен. Из предыдущего опыта проведения опросов следует, что если товар действительно кон­курентоспособный, то предсказание такого же выво­да имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как и аналогичные, то вероятность того, что оп­рос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на его конкурентоспособность, рав­на 0,2. С учетом результата опроса оцените вероят­ность того, что товар действительно более высокого качества и, следовательно, обладает более высокой конкурентоспособностью, чем аналогичные.  5. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся  прогнозом рыночной ситуации, подтвердила пред­положение о росте спроса. Положительные прогно­зы консультационной фирмы сбываются с вероят­ностью 95%, а отрицательные — с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса дей­ствительно произойдет?  6. Исследователь рынка заинтересован в прове­дении интервью с супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам това­ров. Он приходит по выбранному адресу, попадает в трехквартирный дом и по надписям на почтовых ящиках выясняет, что в 1-й квартире живут 2 мужчин, во 2-й — супружеская пара, в 3-й — 2 женщи­ны. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выб­ранную дверь и на его звонок выходит женщина. Предположим, что если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут 2 мужчин, то к двери мог по­дойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он позвонил в дверь супружеской пары, то мужчина или жен­щина имели бы равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.  7. Среди студентов института — 30% первокурс­ники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4-м курсе их 20% и 15% соответственно. По дан­ным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оцен­ки, на 2-м — 30%, на 3-м — 35%, на 4-м — 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) — третьекурсник?  8. Отдел менеджмента одного из супермаркетов разрабатывает новую кредитную политику с целью снижения числа тех покупателей, которые, полу­чая кредит, не выполняют своих платежных обязательств. Менеджер по кредитам предлагает в буду­щем отказывать в кредитной поддержке тем поку­пателям, которые на 2 недели и более задерживают очередной взнос, тем более что примерно 90% та­ких покупателей задерживают платежи, по край­ней мере, на 2 месяца.  Дополнительные исследования показали, что 2% всех покупателей товаров в кредит не только задерживают очередной взнос, но и вообще не выполня­ют своих обязательств, а 45% тех, кто уже имеют 2-месячную задолженность по кредиту, уплатил оче­редной взнос в данный момент. Учитывая все это, найти вероятность того, что покупатель, имеющий 2-месячную задолженность, в действительности не выполнит своих платежных обязательств по креди­ту. Проанализировав полученные вероятности, кри­тически оцените новую кредитную политику, раз­работанную отделом менеджмента.  9. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% — местные, 30% — по СНГ и 10% — международные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на междуна­родных — 90%. Из прибывших в аэропорт пасса­жиров случайно выбирается 1. Чему равна вероят­ность того, что он: а) бизнесмен; б) прибыл из стран СНГ по делам бизнеса; в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса; г) прибывший международным рейсом бизнесмен?  10. Нефтеразведочная экспедиция проводит ис­следования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважи­ны. Исходя из результатов предыдущих исследова­ний, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейс­мический тест, который имеет определенную сте­пень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может оши­бочно указать на это. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют реально?  11. Экспортно-импортная фирма собирается зак­лючить контракт на поставку сельскохозяйствен­ного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае — в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конку­рент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?  12. Транснациональная компания обсуждает воз­можности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менедже­ры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политичес­кого климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оце­нивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 0,30, если политическая си­туация будет нейтральной; в 0,10, если политичес­кая ситуация в течение года будет неблагоприят­ной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и небла­гоприятной политических ситуаций соответствен­но равны: 0,60, 0,20 и 0,20. Чему равна вероят­ность успеха инвестиций?  13. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их ве­роятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономи­ческого состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация «посредственная», и с вероятнос­тью 0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в насто­ящий момент индекс экономического состояния воз­рос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?  14. При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики фирмы, получающей контрольный па­кет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель сове­та директоров поглощаемой фирмы выйдет в отстав­ку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему рав­на вероятность успеха сделки?  15. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварий­ная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с веро­ятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварий­ной ситуации?  16. Вероятность того, что клиент банка не вер­нет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса — 0,13. Пред­положим, что вероятность того, что начнется пери­од экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?  17. Перед тем, как начать маркетинг нового това­ра по всей стране, компании-производители часто проверяют спрос на него по отзывам случайно выб­ранных потенциальных покупателей. Методы про­ведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для опре­деленного товара известно, что вероятность его воз­можного успеха на рынке составит 0,75, если товар действительно удачный, и 0,15, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар мо­жет иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее ре­зультаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?      18. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производи­тельности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й — 84% де­талей отличного качества. Наудачу взятая с кон­вейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а) 1-м автоматом; б) 2-м автоматом.  19. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитив­но реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негатив­но. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?  20. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользовать­ся спросом при наличии на рынке конкурирующе­го товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, рав­на 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?    4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ  4.1. Определение дискретной случайной величины  Величина, которая в результате испытания мо­жет принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно, считается случайной.  Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может при­нимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значе­ний есть случайное событие с определенной веро­ятностью.  Соотношение, устанавливающее связь между от­дельными возможными значениями случайной ве­личины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возмож­ные числовые значения случайной величины Х че­рез x1, x2, …, xn…, а через pi = Р(Х = хi) вероят­ность появления значения xi, то дискретная слу­чайная величина полностью определяется табл. 4.1.  Таблица 4.1  xi   x1   x2   …   xn    pi   p1   p2   …   pn      

Do NOT follow this link or you will be banned from the site! Пролистать наверх